\section{线性空间的定义与简单性质}

\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 线性空间是数学中的基本观念。所谓线性空间就是一个非空集合$V$带上
      一个二元运算 (称为``加法'')和 $P$ 在 $V$ 的一个作用 (称为``数量乘法'')，
      且要求这两个运算满足8条性质：加法的交换律、加法的结合律、加法的零元的存在性、元素的加法负元的存在性、
      数 $1$恒等地作用、数量乘法的结合律、数量乘法与数的加法的分配律、
      数量乘法与$V$中加法的分配律。
    \item 线性空间中，加法的零元是唯一的，一个元素的加法负元是唯一的。
      利用负元，我们可以定义减法，使得减法是加法的逆运算。
      我们还会讲到线性空间的其他几个简单性质。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{线性空间的定义与简单性质}
线性空间是线性代数最基本的概念之一。为了说明它的来源，在引入定义之前， 先看几个熟知的例子。
\begin{example}
在解析几何中， 我们讨论过三维空间中的向量。 
  向量的基本属性是可以按平行四边形法则相加， 也可以与实数作数量乘法。 
  我们看到， 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。
\end{example}

\pause
\begin{example}
为了讨论线性方程组解的结构， 我们讨论过以 $n$ 元有序数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 作为元素的
$n$ 维向量空间。 
对于它们，也有加法和数量乘法，那就是
\[
  \begin{aligned}
    \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)&= \left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \cdots, a_{n}+b_{n}\right), \\
    k\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)&= \left(k a_{1}, k a_{2}, \cdots, k a_{n}\right) .
\end{aligned}
\]
我们知道齐次线性方程组的解集恰好为其基础解系中向量的所有的线性组合
（非齐次呢？）。
\end{example}



\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
对于实值函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。 
  譬如说， 考虑全体定义在区间 $[a, b]$ 上的连续函数。
  我们知道， 连续函数的和是连续函数， 连续函数与实数的数量乘积还是连续函数。
\end{example}

~

\pause
从这些例子中我们看到，所考虑的对象虽然完全不同，但是它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。 
当然，随着对象不同， 这两种运算的定义也是不同的。
为了抓住它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们引入线性空间的概念。

~

\pause
在第一个例子中， 我们用实数和向量相乘。 
在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。
例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就已经足够了， 而在复数域中解线性方程组时， 就需要用复数去作运算。 
可见， 不同的对象与不同的数域相联系。 
当我们引入抽象的线性空间的概念时， 也必须选定一个确定的数域作为基础。
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{definition}
设 $V$ 是一个非空集合， $P$ 是一个数域。 %在集合 $V$ 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法; 这就是说， 给出了一个法则， 对于 $V$ 中任意两个元素 $\alpha$ 与 $ \beta$, 在 $V$ 中都有唯一的一个元素 $ \gamma$ 与它们对应， 称为 $ \alpha$ 与 $ \beta$ 的和，记为 $ \gamma= \alpha+ \beta$. 在数域 $P$ 与集合 $V$的元素之间还定义了一种运算， 叫做数量乘法; 这就是说， 对于数域 $P$ 中任一数 $k$ 与 $V$中任一元素 $ \alpha$, 在 $V$ 中都有唯一的一个元素 $ \delta$ 与它们对应， 称为 $k$ 与 $ \alpha$ 的数量乘积，记为 $\delta=k \alpha$. 如果加法与数量乘法满足下述规则， 那么 $V$ 称为数域 $P$ 上的\emph{线性空间}。
$V$ 称为数域 $P$ 上的\emph{线性空间} (linear space) 或 \emph{$P$-线性空间}，
若$V$带上了一个二元运算``\emph{加法}'' (addition)
\[
  V\times V\rightarrow V, (\alpha, \beta)\mapsto \alpha+\beta,
\]
和$P$在$V$的一个作用``\emph{数量乘法}''（简称\emph{数乘}）或``\emph{标量乘法}'' (scalar multiplication)
\[
  P\times V\rightarrow V, (k, \alpha)\mapsto k\alpha,
\]
\pause
且（下列规则中，$k,l\in P$任意，$\alpha,\beta,\gamma\in V$任意）
\begin{itemize}
  \item 加法满足下面四条规则：
\begin{enumerate}
    \item （交换律）$\alpha+\beta=\beta+\alpha$;
      \item （结合律）$( \alpha+ \beta)+ \gamma= \alpha+( \beta+ \gamma)$;
      \item （加法单位元的存在性）在 $V$ 中有一元素 $\symbf{0}$, 对于 $V$ 中任一元素 $ \alpha$ 都有
        $\symbf{0}+\alpha=\alpha$. 具有这个性质的元素 $\symbf{0}$ 称为 $V$ 的\emph{零元素} (zero element)。
            \item （元素的加法逆元的存在性）对于 $V$ 中每一元素 $ \alpha$, 都有 $V$ 中的元素 $ \beta$, 使得
              $\alpha+\beta=\symbf{0}$. $ \beta$ 称为 $ \alpha$ 的\emph{负元素} (negative)。
          \end{enumerate}
          \pause
        \item 数量乘法满足下面四条规则：
        \begin{enumerate}
              \setcounter{enumi}{4}
            \item （$1\in P$的作用是恒等作用） $1  \alpha= \alpha$;
            \item （结合律）$k(l  \alpha)=(k l)  \alpha$;
            \item （分配律）$(k+l)  \alpha=k  \alpha+l  \alpha$;
          \item （分配律）$k( \alpha+ \beta)=k  \alpha+k  \beta$.
      \end{enumerate}
      \end{itemize}
    %在以上规则中， $k, l$ 等表示数域 $P$ 中的任意数; $\alpha,  \beta,  \gamma$ 等表示集合 $V$ 中任意元素。
  \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}

  线性空间中的加法和数乘统称为\emph{线性运算}。定义中的二元运算 $V\times V\rightarrow V$ (加法)
  和$P$在$V$上的作用 $P\times V\rightarrow V$ (数乘) 的存在性有时也说成是加法的和数乘的封闭性。

~

线性空间的元素也称为\emph{向量} (vector)。 当然， 这里所谓向量比几何中所谓向量的含义要广泛得多。
线性空间有时也称为\emph{向量空间} (vector space)。
以下我们经常是用\xout{黑体的}小写希腊字母 $ \alpha,  \beta$, $\gamma, \cdots$ 代表线性空间 $V$ 中的元素，用小写的拉丁字母 $a, b, c, \cdots$ 代表数域 $P$ 中的数。

~

\pause
若基域$P=\symbf{R}$, 我们称$V$为 \emph{实线性空间} 或 \emph{实向量空间} (real vector space)；若$P=\symbf{C}$, 称$V$为 \emph{复线性空间} 或 \emph{复向量空间} (complex vector space)。

~

我们定义向量空间时数乘是在左边，不过我们可以把这个左边的数乘延拓到右
边，即定义右边的数量乘为 $ \alpha k \coloneq k\alpha$, 对任意的 $k\in P, \alpha\in V$. 这样会很方便。
此时，上面列出的左边数乘的性质对右边的数乘同样成立（注意到$P$中乘法的交换性）。


\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
由定义，空间解析几何里几何空间中全部向量组成的集合是一个实线性空间。 
      分量属于数域 $P$ 的全体 $n$ 元数组构成数域 $P$ 上的一个线性空间，这个线性空间我们用 $P^{n}$ 来表示（通常其中的 $n$元数组按照行的方式来写）。
      为了区别，这些$n$元数组按照列的方式来写时我们记为 $P^{(n)}$.
\end{example}

\pause
\begin{example}
数域 $P$ 按照本身的加法与乘法构成一个自身上的线性空间。
      更一般地，若数域$P_1, P_2$满足$P_1 \subset P_2$, 
      比如, 
        \[
            \symbf{R}\subset \symbf{C}, \quad\symbf{Q}\subset \symbf{R}, \quad \symbf{Q}\subset \symbf{C}, \quad\symbf{Q}\subset \symbf{Q}[i]\coloneq \{a+b\,i\mid a,b\in \symbf{Q}\}, 
        \]
        那么$P_2$自然地是$P_1$-向量空间。
\end{example}

\pause
\begin{example}
数域 $P$ 上一元多项式环 $P[x]$, 按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域 $P$ 上的线性空间。 
    如果只考虑其中次数小于 $n$ 的多项式，再添上零多项式也构成数域 $P$ 上的一个线性空间，用 $P[x]_{n}$ 表示。

\end{example}

\pause
\begin{example}

元素属于数域 $P$ 的 $m \times n$ 矩阵， 按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法， 构成数域 $P$ 上的一个线性空间， 用 $P^{m \times n}$ 表示。
  \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  全体实变量实值函数构成的集合 
    \[
      \Map(\symbf{R}, \symbf{R})=\{f\colon \symbf{R}\rightarrow \symbf{R}\}
\]
按函数的加法和数与函数的数量乘法 (即逐点定义) 构成一个实线性空间。
更一般地，设 $S$ 是非空集合，那么所有 $S$ 到数域 $P$ 的映射的集合 
\[
  \Map(S, P)=\{f\colon S\rightarrow P\}
\]
有 $P$-向量空间结构。
%，\aemph{甚至于可以定义 $P$-代数结构}。
    加、%乘、
    数量乘分别由 $P$ 上的加、%乘、
    乘诱导%
    \footnote{
      不仅如此，$P$上的乘法还能诱导出$\Map(S, P)$上的乘法：
    \[
      fg\colon S\rightarrow P, x\mapsto f(x)g(x).
    \]
    这个乘法也满足$P$的乘法类似的性质（交换律，结合律，分配律等），从而$\Map(S, P)$不单单是个$P$-向量空间，实际上还有\emph{$P$-代数} ($P$-algebra) 的结构。
  } (逐点定义)。
  \pause
    对 $f,g \in \Map(S, P)$, 定义和 $f+g$ %, fg$ 分别为
    为
    \[
      \begin{aligned}
        f+g\colon& S \rightarrow P,\quad x \mapsto f(x) + g(x);\\
        %fg\colon & S \rightarrow P,\quad y \mapsto f(y)g(y);
      \end{aligned}
      \]
对$a\in P, f\in \Map(S,P)$,
    定义数量乘法为
    \[
      af\colon S \rightarrow P, \quad x \mapsto af(x).
    \]
    %加法单位元为取常值$0$的映射 $S \rightarrow P, y \mapsto 0$; 乘法单位元为取常值$1$的映射 $S \rightarrow P, y \mapsto 1$.
    零向量为取常值$0$的映射 $S \rightarrow P, x \mapsto 0$.
    \pause
    另外，实轴的一个区间上的连续 (更一般地，$C^n$或$C^\infty$) 实值函数在逐点的加法、数乘下构成实线性空间。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
      若$V$是$P$-向量空间且存在双射$\varphi\colon V\rightarrow W$,
那么$W$上存在唯一的向量空间结构，使得$\varphi$保持加法和数乘（后面我们会说这样的映射是\emph{线性} 的 (linear)），
      即使得$\varphi$满足对任意的$k\in P, \alpha, \alpha'\in V$有 
      \begin{align*}
          \varphi(\alpha+\alpha')&= \varphi(\alpha)+\varphi(\alpha'),\\
      \varphi(k\alpha)&= k\varphi(\alpha).
      \end{align*}
这个向量空间结构也说成是通过$\varphi$把$V$上的向量空间结构\emph{诱导} (induce) 到$W$上去得到的。
\pause
      要使得$\varphi$线性，我们只能如下定义$W$上的加法和数乘：对$k\in P, \beta,\beta'\in W$, 
      \[
        \begin{alignedat}{3}
        \beta+\beta'&\coloneq \varphi(\alpha+\alpha'), &&\quad\text{对~}\beta=\varphi(\alpha), \beta'=\varphi(\alpha'),\\
        k \beta&\coloneq \varphi(k\alpha), &&\quad \text{对~}\beta=\varphi(\alpha).
      \end{alignedat}
    \]
容易验证这样定义的加法和数乘满足向量空间公理中的条件（都归结为$V$上的加法和数乘满足公理中的条件），从而$W$的确是向量空间。例如，$\varphi(0)$为$W$中的零元素，$w=\varphi(v)$的负元素为$\varphi(-v)$.

\pause
      例如我们有双射$\varphi\colon \bR\rightarrow \bR^+, x\mapsto e^x$, 其中$\bR^+$表示正实数的集合。
      这样可以把$\bR$上自然的实向量空间结构诱导到$\bR^+$上去。
      实际上，诱导的$\bR^+$上的加法与数乘分别定义为：
      对任意$a,b\in \bR^+$, $k\in \bR$,
\[
  a\oplus b\coloneq ab, \quad k\circ a\coloneq a^k. 
\]
$\bR^+$中的零元素为$e^0=1$, $a\in \bR^+$的负元素为$\frac{1}{a}$.
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{proposition}[线性空间的一些简单性质]
  \begin{enumerate}
    \item 零元素是唯一的。
    \item 负元素是唯一的，
      即适合条件 $ \alpha+ \beta=\symbf{0}$ 的元素 $ \beta$ 是被元素 $ \alpha$ 唯一决定的。
    \item $0  \alpha=\symbf{0}, k \symbf{0}=\symbf{0},(-1)  \alpha=- \alpha$.
    \item 如果 $k  \alpha=\symbf{0}$, 那么 $k=0$ 或者 $ \alpha=\symbf{0}$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

向量 $ \alpha$ 的负元素记为 $- \alpha$.
利用负元素，我们定义减法如下：
\[
 \alpha- \beta= \alpha+(- \beta) .
\]
这节中我们尚将零元素写作$\symbf{0}$, 不过后面都简单地写作$0$.

\pause
\begin{proof}
  \begin{enumerate}
        \item 
      假设 $\symbf{0}_{1}, \symbf{0}_{2}$ 是线性空间 $V$ 中的两个零元素。 
  要证明零元素的唯一性，我们得证 $\symbf{0}_{1}=\symbf{0}_{2}$. 
由 $\symbf{0}_{1}, \symbf{0}_2$ 都是零元素和加法的交换性我们有:
\[
\symbf{0}_{1}=\symbf{0}_2+\symbf{0}_1=\symbf{0}_{1}+\symbf{0}_{2}=\symbf{0}_{2} .
\]

\vspace{-.5em}
    \item 
假设 $ \alpha$ 有两个负元素 $ \beta$ 与 $\gamma$:
\[
 \alpha+ \beta=\symbf{0}, \quad
 \alpha+ \gamma=\symbf{0} .
\]
那么
\[
 \beta= \beta+\symbf{0}= \beta+( \alpha+ \gamma)=( \beta+ \alpha)+ \gamma=\symbf{0}+ \gamma= \gamma . 
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{2}
    \item 
  我们先来证 $0  \alpha=\symbf{0}$. 
因为
\[
\alpha+0 \alpha=1 \alpha+0 \alpha=(1+0) \alpha=1 \alpha=\alpha .
\]
两边加上 $- \alpha$ 即得
\[
0  \alpha=\symbf{0} .
\]
再证$k\symbf{0}=\symbf{0}.$
我们有
\[
  k\symbf{0}=k(\symbf{0}+\symbf{0})=k\symbf{0} + k\symbf{0}.
\]
两边加上$-k\symbf{0}$即得
\[
  \symbf{0}=k\symbf{0}.
\]
最后证$(-1)\alpha=-\alpha$.
我们有
\[
 \alpha+(-1)  \alpha=1  \alpha+(-1)  \alpha=(1-1)  \alpha=0  \alpha=\symbf{0} \text {. }
\]
两边减去 $ \alpha$ 即得
\[
(-1)  \alpha=- \alpha .
\]

    \item 
  假设 $k \neq 0$, 那么
  \[
    \alpha = 1 \alpha = (k^{-1}k)\alpha= 
  k^{-1}(k  \alpha)=k^{-1} \symbf{0}=\symbf{0} .
\]
由此即得 $ \alpha=\symbf{0}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 我们为何引入向量空间这样的代数结构？举例说明。
\item 向量空间的定义是什么？
  定义了何种运算？要求何种性质？
\item 举更多线性空间的例子。
\item 这节讲了线性空间的有哪些性质？
  \end{enumerate}
\end{frame}
